Práctica 1 - Números reales y funciones de Análisis Matemático 66 UBA XXI Cátedra Cabana resuelta

En los casos en que sea posible, escribir los siguientes conjuntos como intervalos o unión de intervalos. Representar todos los conjuntos en la recta numérica.

a) $\left\{x \in \mathbb{R} /2x-1<x+3 \right\}$

b) $\left\{x \in \mathbb{R} /-\frac{x}{3} \lt 2 x+1\right\}$

c) $\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{6}{x-1} \geq 5\right\}$

d) $\{x \in \mathbb{R} /|x| \lt 2\}$

e) $\{x \in \mathbb{R} /|x-3| \lt 2\}$

f) $\{x \in \mathbb{R} /|x| \gt 5\}$

g) $\{n \in \mathbb{N} / 8 \leq n \lt 10\}$

h) $\left\{\frac{n}{n+1} / n \in \mathbb{N} \wedge n \lt 4\right\}$

i) $\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{x+1}{3 x+2} \gt 1\right\}$

j) $\{x \in \mathbb{R} /(1-2 x)(2-x) \geq 0\}$

EJERCICIO 1.4

Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su conjunto solución en forma gráfica sobre la recta real.

a) $-2 x \gt 4$

b) $5 x-3 \leq 7-3 x$

c) $2 x-\frac{1}{2} \geq 7 x+\frac{7}{6}$

d) $\frac{4 x-8}{5} \lt \frac{x-6}{3}$

e) $1-x^{2} \leq-3$

f) $x^{2}-x-2 \geq 0$

EJERCICIO 1.5

Clasificar los números reales del Ejercicio 1 en racionales e irracionales.

EJERCICIO 1.6

Hallar el número racional cuya expresión decimal es $0,3344444 \ldots$

EJERCICIO 1.7

El número $\sqrt{5}$ está comprendido entre 2 y 3 y sus primeras cifras decimales son 2, 236067977499790 .

a) (Opcional) Demostrar que $\sqrt{5}$ es un número irracional.

b) Hallar un número racional comprendido entre 2,236 y $\sqrt{5}$.

c) Hallar un número irracional comprendido entre 2,236 y $\sqrt{5}$.

EJERCICIO 1.8

Decidir si los conjuntos dados a continuación, están acotados superiormente y/o inferiormente. En caso afirmativo, encontrar el supremo y/o el ínfimo y decidir si alguno de ellos es el máximo y/o el mínimo del conjunto correspondiente.

e) $\{4 ; 4,9 ; 4,99 ; 4,999 ; \ldots$.}

f) $\{x \in \mathbb{R} /|x| \gt 7\}$

g) $\left\{x \in \mathbb{R} / x^{2}-3 x+2 \lt 0\right\}$

h) $\left\{y \in \mathbb{R} / y=x^{2}-3 x+2, x \in \mathbb{R}\right\}$

EJERCICIO 1.9

Considerar el conjunto $A=\left\{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right\}$.

a) Mostrar que 1 es una cota superior del conjunto $A$.

b) Exhibir un elemento $a \in A$ que satisfaga $0,9 \lt a\lt 1$.

c) Exhibir un elemento $a \in A$ que satisfaga $0,99 \lt a\lt 1$.

d) Mostrar que si $b \lt 1$, existe un elemento $a \in A$ que satisface $b \lt a \lt 1$.

e) ¿Se puede deducir que 1 es el supremo del conjunto $A$ ?

f) ¿Se puede deducir que 1 es el máximo del conjunto $A$ ?

EJERCICIO 1.10

Hallar los valores de $x$ que verifican:

a) $|x| \leq 3$ y $x \gt -\frac{1}{2}$

b) $|x-1|=1-x$

EJERCICIO 1.11

(Optativo) Demostrar.

a) Si $x \in \mathbb{R}$ es irracional, entonces $x+1$ es irracional. (Sug.: demostrar el contrarrecíproco)

b) Demostrar que si $x \in \mathbb{R}$ es irracional, entonces $x-1$ y $\frac{1}{x}$ son irracionales. (Sug.: demostrar por reducción al absurdo)

EJERCICIO 1.12

Una persona realiza un viaje por una ruta, siendo $x$ la cantidad de kilómetros que recorre. Hace paradas en distintos pueblos: la primera parada la hace después de recorrer el segmento $|x-25| \leq 25$, la segunda después de recorrer el segmento $|x-85| \leq 35$ y la última después de recorrer el segmento $|x-140| \leq 20$.

a) ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?

b) ¿A cuántos kilómetros del punto de partida están ubicados los pueblos en los que paró?

c) ¿A cuántos kilómetros entre sí están ubicados dichos pueblos?

EJERCICIO 1.13

A partir de los siguientes conjuntos del plano, determinar en cada caso si existe una función cuyo gráfico sea el dado.

EJERCICIO 1.14

A partir de los siguientes gráficos de funciones, determinar en cada caso el valor de $f(0)$, el valor de $x$ tal que $f(x)=0$, dónde la función crece y dónde decrece, dónde alcanza y cuánto vale su valor máximo y su valor mínimo, dónde es positiva y dónde es negativa.

EJERCICIO 1.15

Determinar el conjunto dominio, más amplio posible en reales, para que las siguientes fórmulas sean funciones.

a) $f(t) = 3t^2 - t$

b) $f(x) = \frac{x-2}{3x+1}$

c) $f(s) = \sqrt{5s + 1}$

d) $f(x) = \frac{3+x}{\sqrt{x+2}}$

e) $f(z) = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}$

f) $f(x) = x^3$

g) $f(x) = 2^x$

h) $f(x) = \frac{1}{2^{3x+1}}$

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